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Regra de Bayes – Normalização

• Considere novamente a equação para calcular a probabilidade de meningite dado enrijecimento do pescoço: P (M | S) = \frac{P (S|M)P (M)}{P (S)}

• Considere a possibilidade do paciente ter enrijecimento do pescoço e isto causar uma distensão dos músculos: P (W | S) = \frac{P (S|W)P (W)}{P (S)}

• probabilidade relativa: (P (S | W) = 0.8 e P (W) = \frac{1}{1000}). \frac{P (M|S)}{P (W |S)} = \frac{P (S|M)P (M)}{P (S|W)P (W)} = \frac{1}{80}

• ie, distensão é 80 vezes mais frequente do que meningite, dado que o paciente tem enrijecimento dos músculos do pescoço.

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Regra de Bayes – Normalização

• Em alguns casos, probabilidades relativas são suficientes para tomar decisões, mas em outros casos, há necessidade de calcular números mais precisos, sem precisar utilizar P(S) (probabilidade incondicional): normalização.

\begin{matrix}P (M | S) = \frac{P (S|M)P (M)}{P (S)} \\ P (¬M | S) = \frac{P (S|¬M)P (¬M)}{P (S)} \end{matrix}

Adicionando: (obs: P (M | S) + P (¬M | S) = 1) P (S) = P (S | M)P (M) + P (S | ¬M)P (¬M)

• Substituindo na regra de Bayes:

P (M | S) = \frac{P (S|M)P (M)}{P (S|M)P (M)+P (S|¬M)P (¬M)}

• regra geral: P(Y | X) = αP(X | Y)P(Y)

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Usando a Regra de Bayes: combinação de evidências • Assuma:

\begin{matrix}P (Carie | DorDeDente) = 0.8 \\ P (Carie | MotorP rendeu) = 0.95 \end{matrix}

• O que um(a) dentista pode concluir se o motor prendeu no dente em que o paciente sente dor?

• Usando tabela de distr. de prob. conjunta, bastaria consultar tabela para encontrar P (Carie | DorDeDente ∧ MotorP rendeu).

• Usando Bayes:

P (Carie | DorDeDente ∧ MotorP rendeu) =

\frac{P (DorDeDente∧MotorP rendeu|Carie)P (Carie)}{P (DorDeDente∧MotorP rendeu)}

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Usando a Regra de Bayes: combinação de evidências

• esta forma pode levar a um número exponencial de valores de probabilidade se tivermos conjunções com mais variáveis. Por que não voltar a usar tabela de prob. conjunta neste caso?

• Polêmica entre pesquisadores que decidiram adotar métodos aproximados para tratar combinações de evidências, invés de teoria das probabilidades.

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Usando a Regra de Bayes: combinação de evidências

• Em alguns domínios, Bayes pode ser simplificada e usar menos valores de probabilidades para produzir resultados: atualização bayesiana (bayesian updating).

P (Carie | DorDeDente) = P (Carie)\frac{P (DorDeDente | Carie)}{P (DorDeDente)}

• qdo MotorPrendeu é observado, aplicamos novamente Bayes com DorDeDente como variável condicional de contexto: P (Carie | DorDeDente ∧ MotorP rendeu) = P (Carie | DorDeDente)\frac{P (MotorP rendeu|DorDeDente∧Carie)}{P (MotorP rendeu|DorDeDente)}

• Em atualização bayesiana, cada vez que uma nova evidência é observada, a crença é multiplicada por um fator que depende da nova evidência.

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Usando a Regra de Bayes: combinação de evidências

• Ainda está complicado!

• P (MotorP rendeu | DorDeDente ∧ Carie) não é mais fácil de ser calculado do que P (DorDeDente ∧ MotorP rendeu | Carie)!

• observação chave: cárie é causa direta da dor de dente e do motor ter agarrado ao dente, neste exemplo.

• Simplificação: independência condicional de DorDeDente e de MotorPrendeu, dado Carie:

\begin{matrix}P (MotorP rendeu | Carie ∧ DorDeDente) = P (MotorP rendeu | Carie) \\ P (DorDeDente | Carie ∧ MotorP rendeu) = P (DorDeDente | Carie) \end{matrix}

• Simplificando:

P (Carie | DorDeDente ∧ MotorP rendeu) = P (Carie) \frac{P (DorDeDente|Carie)}{P (DorDeDente)} \frac{P (MotorP rendeu|Carie)}{P (MotorP rendeu|DorDeDente)}